NEW! 不定積分 2008年07月25日 00:55:09 りりか 次の不定積分を求めよ。 ∫{(sin３x)/（sinx）}ｄｘ チャート等の参考書を見ても似たような問題がなく、 数�V苦手の私には解き方がさっぱりわかりません(><) どなたか解き方教えてください！ NEW! re 2008年07月25日 03:31:12 hari sinの三倍角とcosの二倍角を使ってsinxまたはcosxに変形します。 NEW! re 2008年07月25日 03:33:11 rtz 3倍角の公式でばらして割り算 →(sinx)^2は半角の公式、あるいはcos2xをばらしたものから逆算 →普通に積分 で完了です。 NEW! re2 2008年07月25日 03:33:45 rtz かぶりました、申し訳ありません。 NEW! ご丁寧にありがとうございました！ 2008年07月25日 07:13:01 りりか とても助かりました。 おかげで解くことができました。 本当にありかがとうございました！

	NEW! 定積分の不等式の証明 2008年07月25日 00:54:41 help! 　不等式{∫^1_0(x+a)(x+b)dx}^2≦{∫^1_0(x+a)^2dx}{∫^1_0(x+b)^2dx}の証明で 解答を見ると、{t(x+a)+(x+b)}^2≧0　（tは任意の実数）を利用して 判別式に持ち込んでいたのですが、 {t(x+a)+(x+b)}^2≧0を使う発想がどこから出てきたのか分かりません。 この式はどのようなときに使うのでしょうか。 NEW! re 2008年07月25日 03:39:47 hari 全く知識のない人が思いつくのは厳しいと思います。 賢い人が思いついたんでしょうね。 コーシーシュワルツの不等式という有名な不等式なので、検索してみてください。

	NEW! 微分 2008年07月24日 23:58:39 みち ｍ→a・→v＝→Ｆ・→v →a＝d→v/dt よって、d/dt(1/2m→v・→v)＝→Ｆ・→v …になる理由がわかりません。 d/dtを前に持っていくと、1/2がつく理由がわかりません。 教えてください！お願いします。 NEW! re 2008年07月25日 00:11:20 hari yをxの関数とすると (d/dx)y^2 = 2y(dy/dx) です。これと一緒です。

	NEW! おねがいです・解きにくいです． 2008年07月24日 23:42:41 おねがいします． 29/18　<　シグマ（1〜∞）1/n^2　<　31/18　という証明です． NEW! . 2008年07月25日 00:40:20 . まぁ、本問は易しくないからヒントだけ。 関数 1/x^2 の区間 k ≦ x ≦ k+1 における定積分を上手く使う。 あとは試行錯誤してみよう。 端的にそれだけの問題だ。 NEW! 　. 2008年07月25日 03:39:34 . 一応、もう一言。 今回のような無限級数の数値評価の問題だが、有限和を具体的に計算してみるのが 最も手っ取り早い。 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 を試しに計算してみよう。いくつになるかな？ 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 も計算してみよう。いくつかな？ 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 はどうかな？ こういう、一見地道な作業が意外と早道だったりすることもある。 愚直でも正攻法でやってみよう。 あと、丸投げはしないことだ。 今回は問いが問いだけに甘く見たが、少しは自分の考えを書くこと。 それが本来の「お伺いの立て方」というものだ。

	NEW! またまたすみません！ 2008年07月24日 23:38:55 みみ １　∫[0,π/2] log(sin(x)) dx ２　∫[0,π/2] {x/tan(x)} dx の広義積分ですが、原始関数が分からなくて困っています・・・ 回答おねがいします・・・！ NEW! re 2008年07月25日 09:52:17 豆 堂々巡りをしているようで気持ちが悪いですが、とりあえず答えは・・ I=∫[0,π/2]log(sinx)dx=∫[0,π/2]log(cosx)dx 2I=∫[0,π/2]log(sinx)dx+∫[0,π/2]log(cosx)dx 　=∫[0,π/2]log(sinxcosx)dx 　=∫[0,π/2]log((1/2)sin(2x))dx 　=-(π/2)log2+I ∴　I=-πlog2/2 ∫[0,π/2] {x/tan(x)} dx=∫[0,π/2]x(cosx/sinx)dx =(xlog(sinx))[0,π/2]-I =-I

	NEW! 図形と計量 2008年07月24日 22:16:55 まな 底面が一辺の長さ2の正方形で、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝３である四角錐ＯＡＢＣＤを考える。 このとき、cos∠ＡＯＢ＝�@ cos∠ＡＯＣ＝�A である。 Ｏから平面ＡＢＣＤに下ろした垂線と平面ＡＢＣＤの交点をＥとするとき、ＯＥ＝√�Bである。 　 さらに、線分ＯＢ、ＯＤを２：１に内分する点をそれぞれＧ、Ｈとし、平面ＡＨＧと線分ＯＣ、ＯＥの交点をそれぞれＩ、Ｊとするとき、ＡＧ＝�C　ＡＪ＝�Dである。 　ここで、ＯＩ＝a　ＪＩ＝bとおくと、ＯＪは∠ＡＯＩの二等分線だから、b＝�Eaと表され、ＯＩ＝�Fである。 さらに、△ＩＨＧの面積をＳ１、△ＡＨＧの面積をＳ２とすると、Ｓ１/Ｓ２＝�G �@〜�Gには答えが当てはまります。 解き方が全く分からないのでよろしくお願いします。 NEW! �@と�Aは余弦定理を使う 2008年07月25日 09:54:15 通りすがり �@ AB = 2 , AO = BO = 3 三角形ABOで余弦定理 AB^2 = AO^2+BO^2-2*AO*BO*cos∠AOB この式からcos∠AOBを求める �A AB = BC = 2 AC = √(AB^2+BC^2) = √(2^2+2^2) = 2√2 AO = CO = 3 三角形ACOで余弦定理 AC^2 = AO^2+CO^2-2*AO*CO*cos∠AOC この式からcos∠AOCを求める

	NEW! 線形代数 2008年07月24日 21:21:44 bluehare VをC上の有限次元ベクトル空間とし、f:V→Vは線形で半単純(対角型)とする。 Wをf(W)⊂Wを満たすVの部分空間とする。このときfをW上に制限した写像f|w:V→Vは半単純(対角型)であることを示せ。 という問題について教えてください。

	NEW! 三角関数 2008年07月24日 21:06:33 blackrose sin(x+y)=2×sin(x+y)/2×cos(x+y)/2 となる理由を教えてください。 NEW! re 2008年07月24日 21:18:51 hari 倍角公式です。 NEW! Re. 2008年07月24日 21:20:40 通りすがり sin(x+y)=sin{2・(x+y)/2} と見て２倍角の公式を使います。 NEW! re 2008年07月24日 21:21:09 hari 倍角公式です。 NEW! Ｒｅ． 2008年07月24日 21:26:14 通りすがり >>hariさんへ ごめんなさい。かぶりました。 NEW! re 2008年07月24日 21:32:46 hari 嫌みのつもりはないのですが２つ投稿してしまいました^^; >通りすがりさん いえいえ、お気になさらず

	NEW! 図形と計量 2008年07月24日 20:53:48 キキ 一辺の長さが６の正四面体OABCがある。辺OAの中点をMとし、辺OB、OC、上にそれぞれ点P、Qをとり、OP＝CQ＝ｘとする。このとき０＜ｘ＜□であり、PQ^2＝□ｘ^2−□ｘ＋□である。 （１）線分PQの長さはｘ＝□のとき最小値□となる。 （２）線分PQ＝２√３であるとき、ｘ＝●または、ｘ＝△である。ただし、●＜△とする。 センターの問題で穴埋め式なのですが分かりません。 どうか力を貸してください。 NEW! Re 2008年07月25日 06:54:17 Ｎ まずはｘは正四面体の１辺の長さを越えてはいけないのは分かりますか？ ということは０＜ｘ＜６です。 PQ^2については、余弦定理を用いればいいですね。CQ=xなら、OQ=6-xですから。∠BQC=60°ですし。 すると、ｘについての二次式になるので、後はこれを平方完成し、最小値を出せば、(1)が完成します。 (2)はPQ^2＝12の二次方程式を解けばいいですね。 以上ヒントですが、こんなふうに考えてはいかがでしょうか？

	NEW! おねがいします。 2008年07月24日 20:44:20 aya 実数x,yが不等式x^2+y^2≦4,x+√3y≦2,x≧-1をすべて満たしている。 (y+1)/(x-3)の最大値を求めよ。 おしえてほしいです＾＾； NEW! Re. 2008年07月24日 21:25:21 通りすがり (y+1)/(x-3)=k と置くと y=k(x-3)-1 (x≠3) これは点(3,-1)を通る傾きkの直線(但し点(3,-1)を除く)を表します。 後はxy平面上で点(3,-1)を固定点として直線をくるくる回すイメージを考え 問題の不等式の示す領域 x^2+y^2≦4,x+√3y≦2,x≧-1 と交わるための直線の傾きの範囲を求めます。

	NEW! １対１ 2008年07月24日 19:09:09 dell f(x)=x+2x^2*sin1/x (x≠0),f(0)=0 で定められたf(x)はどんな0の近傍でも１対１でないことを示せ。お願いします。

	NEW! 【大学１年】線形代数学−基底について 2008年07月24日 18:22:01 satopon 次の問題が分からず困っています。 どなたか、解き方をお分かりでしたら、教えて下さい。 宜しくお願いします。 「WはR4の部分空間であり、 {(1,1,1,2), (2,1,2,3), (a,3,-a,a)} と {(3,1,1,1), (b,b,0,b-1),(2c,1,c,c)}　のベクトルの組は、 いずれもWの基底であるとき、a,b,cを求めよ。」 【正解】a=1,b=2,c=2　とテキストにありました。 両組の（１次結合）＝０として、計算しても、 正解の様に一意に定まるような解を得ることができませんでした。 NEW! Re 2008年07月24日 19:06:11 AT ４×４の行列式 |(1,1,1,2), (2,1,2,3), (a,3,-a,a),(3,1,1,1)| =0 より a=1 |(1,1,1,2), (2,1,2,3), (1,3,-1,1),(b,b,0,b-1)|=0 より、 b=2 |(1,1,1,2), (2,1,2,3), (1,3,-1,1),(2c,1,c,c)}|=0 より c=2 NEW! re 2008年07月24日 19:16:36 s Solve[c1*{1, 1, 1, 2} + c2*{2, 1, 2, 3} + c3*{3, 1, 1, 1} == {0, 0, 0, 0}, {c1, c2, c3}] Out[2]={{c1 -> 0, c2 -> 0, c3 -> 0}} で 上のvectorの張る空間Wは3次元。 で以下線型従属故　 Det[{{1, 1, 1, 2}, {2, 1, 2, 3}, {a, 3, -a, a}, {3, 1, 1, 1}}] =6 - 6*a Det[{{1, 1, 1, 2}, {2, 1, 2, 3}, {3, 1, 1, 1}, {b, b, 0, b - 1}}] =-2 + b Det[{{1, 1, 1, 2}, {2, 1, 2, 3}, {3, 1, 1, 1}, {2*c, 1, c, c}}] =-2 + c a=1,b=2,c=2

	NEW! 無限級数 2008年07月24日 16:58:59 YHAYHAYHA 「無限等比級数」と「無限等比級数の和」はどう意味がちがうのでしょうか。 級数とは和の意味だと思うのですが。 NEW! res 2008年07月24日 17:20:07 K 岩波の数学辞典によると，大まかに 級数の和：級数が収束する場合に限る． NEW! ありがとうございました。 2008年07月25日 09:06:36 YHAYHAYHA なんとなくわかりました。

	NEW! 整式 2008年07月24日 13:02:35 かたつむり 整式f(x)をx-2で割った余りは6である。 f(x)を(x-1)^2で割った商はg(x)、余りは3x-1である。 f(x)をx^2-3x+2で割った余りと、g(x)をx-2で割った余りを求めよ。 解き方を教えてください。 NEW! 下の質問の解答とほぼ同じ手順 2008年07月24日 14:07:16 数学屋 P(x), Q(x), R(x) を適当な整式, a,b,c を実数とすると x^2-3x+2=(x-2)(x-1) なので、問題文を式で表すと f(x) = (x-2)P(x) + 6 f(x) = {(x-1)^2}g(x) + 3x - 1 f(x) = (x-1)(x-2)Q(x) + ax + b g(x) = (x-2)R(x) + c となります。後は x=1 やら 2 やらを代入して a,b,c の方程式を立てて a,b,c を求めれば良いですね。 NEW! わかりました 2008年07月24日 16:32:39 かたつむり どうも有難うございました。

	NEW! 整式 2008年07月24日 12:51:22 かたつむり 整式f(x)をx^2+4x-5で割った余りはx+2である。 また、f(x)を3x^2+7x+2で割った余りは3x+2である。 f(x)を3x^2+16x+5で割った余りを求めよ。 解き方を教えてください。 NEW! re 2008年07月24日 13:01:07 hari > 整式f(x)をx^2+4x-5で割った余りはx+2である。 よりf(-5) = -3 >f(x)を3x^2+7x+2で割った余りは3x+2である。 よりf(-1/3) = 1 f(x)を3x^2+16x+5で割った余りをax + bとおくと f(-5) = -5a + b f(-1/3) = -a/3 + b 連立方程式を解くとa, bが求まります。 NEW! わかりました 2008年07月24日 13:26:02 かたつむり そうやって解くのですね、余りは(6/7)x+(9/7)になりました。 どうも有難うございました。

	積分 2008年07月24日 09:44:55 ＪＵＭＰ ∫[-∞,+∞] {1/(e^x+e^(-x))}dx この広義積分を求めたいのですが、原始関数が分からなくて困っています・・・ すみませんが、教えてください！ NEW! re 2008年07月24日 11:21:05 豆 分母子にe^xを掛ければよいですね。 ∫dx/(e^x+e^(-x))=∫e^xdx/((e^x)^2+1)=arctan(e^x) NEW! すみません、もう１つ・・・ 2008年07月24日 12:22:08 ＪＵＭＰ ありがとうございます！！ 申し訳ないのですが、もう１つ質問させてください。 ∫[0,∞] {log(x)/(1+x^2)}dx なのですが、これも原始関数がわからなくて・・・ よければ、回答お願いします。 NEW! re 2008年07月24日 15:42:21 豆 原始関数を出すというリクエストには応えられないですが、 x=1/tとすると、dx=-dt/t^2 ∫[0,1]logxdx/(1+x^2)=∫[∞,1](-logt)(-dt/t^2)/(1+(1/t)^2) =-∫[1,∞]logtdt/(1+t^2) NEW! Re: おまけ 2008年07月24日 19:29:58 Shouya あるいは、x=tanθ.とおくと、 ∫[0,π/2] (log(tanθ)/(1+tan^2θ)) sec^2θdθ =∫[0,π/2] log(tanθ)dθ =∫[0,π/2] (log(sinθ) -log(cosθ))dθ =∫[0,π/2] log(sinθ)dθ -∫[π/2,0]log(cos(π/2-t))(-dt) （２項目だけ、t=π/2-θ.と置く。）） =∫[0,π/2] log(sinθ)dθ -∫[0,π/2] log(sint)dt =0. 定積分の場合、必ずしも元の関数の原始関数を 求める必要があるわけではないですね。

	この問題について 2008年07月24日 02:43:02 kuw 過去にも同じ問題の投稿があったのですが、 わからないので教えていただきたいです。 素数pに対して、次の条件を考えます。 「整数a,bに対してa^3-b^3が素数pでわりきれるならば、a-bがpでわりきれる」 （a）p=5,7,11について、これが成り立つかどうかしらべる （b）これが成り立つ素数pを求めてください （a）の問題は背理法を用いるのでしょうか？ また、（b）についても詳しく教えていただけたらうれしいです！ お願いいたします NEW! . 2008年07月24日 22:11:21 . a^3-b^3を因数分解してみてはどうでしょうか？ NEW! 原始根 2008年07月24日 23:32:39 黄桃 以下、mod p で考えます。 b≡0 なら、a^3≡0 ⇔ a≡0 ですので、bがpで割り切れない場合のみ考えればOKです。 bがpで割り切れなければ、b^(-1)があるので、これをかけると x^3≡1 が1でない解をもつかどうか、ということになります。 (a)は、それぞれ 0,1,2,...,10 までについて、x^3≡1⇒x≡1 が成り立つかどうかを調べます。 (b) は、例えば次のようにします。 Z/(p) の原始根を t とします。すると、 t^(3n)≡1 mod p　⇒ t^n≡1 mod p となるnがあるかどうか、ということになります。ｔは原始根だから、 t^m≡1 となる m は p-1 の倍数です。よって、 3n が p-1 の倍数なら n はp-1の倍数か？という問題に帰着されます。 したがって、答は p-1 と 3 が…の時に限って 「整数a,bに対してa^3-b^3が素数pでわりきれるならば、a-bがpでわりきれる」 が成立することがわかります。

	連続投稿ですみません 2008年07月24日 02:07:13 白雷 べき剰余の問題を教えてください。 pを奇素数、aをpと素な整数とするとき、合同式ax^2+bx+c≡0 mod pの解の個数は、b^2-4acが平方剰余、0、平方非剰余に応じて、2,1,0であることを示せ res 2008年07月24日 03:12:46 K 4a(ax^2+bx+c)=(2ax+b)^2-b^2+4ac=0(mod.p)より(2ax+b)^2=b^2-4ac(mod.p)． 所謂X^2=b^2-4ac(mod.p)の形． 平方非剰余ならば解なし，は明らか． 0ならばX^2=0(mod.p)の解はX=0(mod.p)のみ． 平方剰余ならば或る解±Xが存在するが，ここに別の解X'に対して X^2-X'^2=(X-X')(X+X')=0(mod.p)所謂X'=X(mod.p)かX'=-X(mod.p) 従って解は2個． Xの中身2ax+bは1次なので明らかでしょう．これでn変数の2次連立合同式とかも解けるようになるのでしょう． NEW! もう１つお願いします 2008年07月24日 12:05:51 白雷 ｍ,ｎを互いに素な正の整数とし、Ｆを整数係数の多項式とするとき、合同式Ｆ(x)≡０ mod ｍｎが解をもつためには、Ｆ(x)≡０ mod ｍとＦ(x)≡０ mod ｎがともに解をもつことが必要十分であることを示せ という問題です。 NEW! res 2008年07月24日 17:35:49 K 必要性は明らか． 充分性は F(a)=0(mod.m),F(b)=0(mod.n)ならば任意のu,vに対してF(a+mu)=0(mod.m),F(b+nv)=0(mod.n)． ここにmu-nv=b-aの解u,vの存在を示せばよい．

	べき剰余 2008年07月24日 02:00:07 白雷 a,bを整数とするとき、pをa^2+b^2の奇素数因子とすれば、pがa,bの公倍数でない限り、pは法4で1と合同であることを示せ。 という問題の解き方を教えてください。 res 2008年07月24日 03:32:36 K これはいろいろな解法がありますが，平方剰余に興味があるようなのでその方針で．．． kb=1(mod.p)なるkを掛けると(ak)^2+1=0(mod.p)． よって(-1/p)=(-1)^{(p-1)/2}=1所謂p=1(mod.4)． この辺の話に興味があるならば，ディリクレ・デデキント著『整数論講義』が参考書によいでしょう．私も中学生の頃，半ば強制的に読まされました． NEW! ありがとうございます 2008年07月24日 10:47:56 白雷 その参考書を探してみます

	質問です 2008年07月23日 23:21:11 夏木 ｐをそすうとするとき、任意の整数ｎに対してn^p≡n mod p (n^p-nはpの倍数であること)を示せという問題の解き方を教えてください。 res 2008年07月23日 23:41:14 K a[n]=n^p-n. a[n+1]-a[n]=(1Cp)n^(p-1)+...+(pCp)n^0-1=(1Cp)n^(p-1)+...+(p-1Cp)n^1 ここに(kCp),k=1,...,p-1はpの倍数．よってa[n+1]=a[n](mod.p)． 一方，a[0]=0(mod.p)は明らか．帰納法による証明． ・ 2008年07月23日 23:54:49 夏木 kＣrでk＜rの計算ってあるんですか？ res 2008年07月24日 00:05:59 K あれ？どうやって書くんだった？逆か．．．orz 添え字をすべて逆に読んでください． re 2008年07月24日 00:13:33 らすかる WEB n色の玉が無数にあり、そのうちp個を取り出して円形に並べる。 pが素数ならば2色以上使われるパターンは(n^p-n)/p通りとなるので、 n^p-nはpで割り切れる。 ああ 2008年07月24日 01:00:31 夏木 なるほど　わかりました。 ありがとうございました。

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